牌抽签 ***

中学的时候，老师过一次别开生面的“礼物”：每个人把自己的名字写在纸条上，然后把纸条放在一起，让大家各抽一张。每人要给自己抽到的那个人写一张新年卡片，或者准备一个小礼品。

那时候我就在想：我会抽到自己吗？要是有人抽到了自己，岂不是很尴尬？

这样的可能性当然是存在的。而这个游戏稍作变化，就会变成日剧《轮到你了》中出现的一个关键情节——13名公寓楼住户在参加住户大会时，所有人在一张纸条上写下自己最希望的人的名字（写谁都可以，不限于现场的人），之后进行抽签，相当于“”。但没有想到的是，之后纸条上写的人真的开始一个接一个地死去，开始向不可控制的方向发展……

众人抽签 | 《轮到你了》

这里有一个问题就是，所有人写纸条并抽签时，有多大的可能性没有人会抽到自己写的纸条呢？

在第7集中，202住户、数学专业学生黑岛沙和（西野七濑饰）就对这个问题进行了计算，并得出了正确答案。

数学专业学生黑岛沙和 | 《轮到你了》

“没有人抽到自己纸条”的概率约为36.7%，既至少一个人抽到自己纸条的可能性是63.3%。

黑岛计算结果 | 《轮到你了》

那这个结果是怎么算出来的呢？

我们来考虑一下，参加人数为不同的数目时，“没有人抽到自己纸条”这种情况，可能会出现多少种不同的排列方式。

1

如果参加游戏的只有1个人

如果参加游戏的只有一个人，那么ta必定会抽到自己的纸条。“没有人抽到自己纸条”的情况数是0。

2

如果参加游戏的有2个人

假设这两个人是a和b，那么“没有人抽到自己纸条”的情况数是1，a抽到b写的纸条，b抽到a写的纸条。

3

如果参加游戏的有3个人

参加游戏的a，b和c这3个人，“没有人抽到自己纸条”的情况数是2，其中，

i. a抽到b写的纸条（这时还剩下a写的纸条，和c写的纸条），b抽到c写的纸条，c抽到a写的纸条，这是之一种情况。

ii. a抽到c写的纸条（这时还剩下a写的纸条，和b写的纸条），b抽到a写的纸条，c抽到b写的纸条，这是第二种情况。

因为考虑的情况是“没有人抽到自己纸条”，能够看出，这就是全部的可能情况了。

《轮到你了》剧照

4

如果参加游戏的有4个人

要像刚才那么数，就有点复杂了。

先明确条件，A，B，C，D四个人，每个人都不能抽到自己写的纸条。比如B不能抽到自己写的条，允许抽到A、C、D写的条。

这时，我们可以改换一下思路。由于A不能抽到自己写的纸条，先假设A拿到了B的纸条。这时候，我们的问题实际上转化为了两种情况：

情况一：

BCD三个人，来抽A写的纸条(记为a)、C写的纸条c、D写的纸条d这3张纸条，抽的时候都没有抽到对应的纸条；BCD三个人抽acd三张纸条，其实跟BCD三个人抽bcd三张纸条是一个意思。只不过，原来我们规定的是，B不能抽到b纸条，而现在我们把这个规定改为了，B不能抽到a纸条.

情况二：

B当然是可以抽到a纸条的，这种情况要单独计算，这时B抽到了a纸条，CD两个人抽纸条，没有抽到自己。

仔细想想，这不就是“3个人抽签没有抽到自己”+“2个人抽签没有抽到自己”？这两者我们前面都算过了，加起来，这就是“A拿到了B的纸条”这种情况下的全部可能情况数。然后把前置条件“A拿到了B的纸条”再推及到别的情况，一共有三种（A拿到了B、C、D的纸条）。

于是，4个人的游戏中，“没有人抽到自己纸条”的情况数，就是3*(2+1)=9。

以此类推，若参加游戏的是5个人，“没有人抽到自己纸条”的情况数是4*(9+2)=44，6个人，则是5*(44+9)=265，7个人是6*(265+44)=1854。

现在我们来计算一下概率。7张纸条随意排列，排列情况总数是7！共5040种。而1854/5040=0.367857……

这个数字，已经很贴近剧中数学系住户算出来的数字了。而当 n 继续增大时，这个概率数字会快速收敛到 1/e = 0.367879……（e为自然对数的底）。

装错信封问题

这种排列，数学上叫做“全错位排列”。或许你也发现了，我们刚刚其实是使用了递推的方式，把全错位排列可能数目记为Dn，推导出了Dn=(Dn-1+ Dn-2)*(n-1)。

实际上，这个问题属于组合数论的范畴，又称为“装错信封问题”。“装错信封问题”是由瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）的儿子丹尼尔·伯努利（DanidBernoulli，1700－1782）提出来的，瑞士数学家欧拉（Euler）等也研究过这个问题。大意为：

n封不同的信及相应的n个不同的信封，把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

可以看出，这个描述中蕴含的数学问题，其实跟写字条后抽签是一样的，也可以用多种不同的来描述。比如我把n 张牌打乱，然后发牌，如果出现发牌次序数=牌面数字的情况，我就赢了，比如发第3张牌时，牌面是3，那么我有多大可能赢？

这个概率，你现在知道了——如果牌足够多，那可以说这个概率约等于1-0.367 ，即0.633，且会向1-1/e无限靠近。

还可以再换个说法，这个描述等价于：

把数字1 ~ n放入序号1 ~ n的格子中，数字1不能放入序号1的格子，数字2不能放入序号2的格子……数字n不能放入序号n的格子。

一下就想起中学时的组合数学题了是不是。

推导开始

好了！以下是数学学霸专用高能时间，请准备好之后再打开。

/*

别怕，其实运算只有加减乘除和阶乘，往下看就知道了！

*/

剧中，202室住户、数学系学生黑岛沙和写的公式，正是全错位排列的排列数目的计算公式。

黑岛沙和的公式 |《轮到你了》

排列数目= n! *( 1/2! – 1/3! + 1/4! – 1/5! + … + (-1)n *1/n! )

由于n个纸条随机排列，分给n个人的总的排列可能数目是n!。

全错位排列数目/总的可能排列数目，就是全错位排列的概率，也就是：

( 1/2! – 1/3! + 1/4! – 1/5! + … + (-1)n *1/n! )

实际上，这正是 1/e 的麦克劳林展开式 （泰勒展开式的一种特殊形式），当n增大时，这个数字会迅速收敛到 1/e。

供图

这也就是剧中黑岛沙和写的这个公式了，剧中参与游戏的有13个人，n为13。

《轮到你了》剧照

n! * ( 1/2! – 1/3! + 1/4! – 1/5! + … + (-1)n*1/n! ) ，这个全错位排列的出现数目的公式，可以有多种证明。把全错位排列可能数目记为Dn，我们上面已经使用递推的证明，证明了Dn=(Dn-1+ Dn-2)*(n-1)。这时，其实证明已经大体完成了。

有了Dn=(n-1)(Dn-1+ Dn-2)，就可以比较容易地推出Bernoulli-Euler装错信封问题的通项公式：

由于Dn=(n-1)(Dn-1+ Dn-2)，

Dn + Dn-1 = (n-1)(Dn-1+ Dn-2)+ Dn-1 = n*Dn-1 -Dn-1 + (n-1)Dn-2 + Dn-1 = n*Dn-1+ (n-1)Dn-2

也就是，Dn- n*Dn-1 = – Dn-1 + (n-1)Dn-2

Dn -n*Dn-1 = – [Dn-1 – (n-1)Dn-2 ]，

从这个式子，我们有，

D3 – 3*D2 = – [D2 – 2D1 ]

D4 – 4*D3 = – [D3 – 3D2 ] = -1 * -1 * [D2 – 2D1 ]

D5- 5*D4 = – [D4- 4D3 ] = -1 * -1 * -1 * [D2 -2D1 ]

这表明，Dn- n*Dn-1，是以D2 – 2D1 = 1 （因为D1= 0，D2= 1，D3= 2，D4=9 ……）为首项，公比为-1的等比数列。

于是，Dn- n*Dn-1= （-1）n-2 ，故Dn= n*Dn-1+（-1）n，n≥2 n为正整数。

供图

Dn/n! = (-1)2* (1/2!) + (-1)3* (1/3!) + …… + (-1)n-1* (1/n-1!) + (-1)n* (1/n!)

这个公式实际上可以进一步化简为 Dn= （n!/e + 0.5），e为自然对数的底。

回过头来看一下，这正是第8集里202住户、数学系学生黑岛沙和写的公式。

《轮到你了》剧照

在第二季中，入住304房间的新人物二阶堂忍与202住户黑岛沙都就读于理工大学，二阶堂忍是研究生，正在研究AI人工智能。第二季剧情中，他在帮助男主角用AI程序分析目前的数据，对凶手特征做测写。

新来的研究人工智能的住户和黑岛 |《轮到你了》

总之，让我们期待两名学生的表现吧，也希望之后给大家带来更多数学科普，大家准备好小铅笔一起来算吧！

：小青

编辑：李子，樟脑玩

数学审核：gsx

本文 果壳，未经 不得.

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果壳

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